turunan fungsi berantai

Turunan Fungsi Berantai

Jika y = f(u) dan u = f(x), maka :

Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan contoh dibawah ini :

Contoh :
1. Turunan pertama dari f(x) = (5x + 2)⁶ adalah ....

Penyelesaian :
• Cara I :
y = (5x + 2)⁶
misal : 
U = 5x + 2
^du/_dx = 5

y = U^6
dy/_du = 6 . U^{6 - 1} = 6U⁵


= 6U⁵ . 5

= 30U⁵

= 30 (5x + 2)⁵

• Cara II :
f'(x) = 6 . (5x + 2)^{6 - 1} . 5
f'(x) = 30 (5x + 2)⁵

limit

Definisi Formal Limit

Mari kita tinjau sisi lain dari definisi informal limit. Jika f(x) mendekati suatu nilai Lketika x mendekati c dari kiri ataupun kanan, maka limit f(x) dengan x mendekati c adalahL, atau dapat dituliskan

Sekilas, definisi tersebut terlihat masih menerawang. Definisi informal tersebut tidak menjelaskan arti sebenarnya dari 2 frasa: “f(x) mendekati suatu nilai L” dan “x mendekati c.”

Orang pertama yang mendefiniskan limit secara matematis adalah Augustin-Louis Cauchy. Definisi limit ε-δ-nya telah digunakan sebagai standard sampai sekarang. Perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar di atas, misalkan ε (epsilon) merepresentasikan bilangan positif yang kecil, maka frasa, “f(x) mendekati suatu nilai L” berarti bahwa f(x) terletak di antara interval (L– ε, L + ε). Dengan menggunakan nilai mutlak, kita dapat menuliskan pernyataan tersebut sebagai |f(x) – L| < ε.

Dengan cara yang sama, frasa “x mendekati c” berarti bahwa ada bilangan positif δ sedemikian sehingga x terletak dalam interval (c – δ, c) atau interval (c, c + δ). Pernyataan ini secara singkat dapat ditulis menjadi 2 pertidaksamaan, 0 < |x – c| < δ. Pertidaksamaan yang pertama, 0 < |x – c| (dibaca: jarak antara x dan c lebih besar dari 0), menyatakan bahwa x ≠ c. Pertidaksamaan yang kedua, |x – c| < δ, menyatakan bahwa x berjarak kurang dari δ satuan dari c.

Definisi LimitMisalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat c (kemungkinan bisa hanya di kanan-kiri c) dan misalkan L adalah sebarang bilangan real. Pernyataan,

berarti bahwa untuk setiap ε > 0 ada δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x – c| < δ, maka |f(x) – L| < ε.

Beberapa fungsi tidak memiliki limit ketika x mendekati c. Akan tetapi jika suatu fungsi memiliki nilai limit, maka fungsi tersebut tidak dapat memiliki 2 nilai limit yang berbeda. Dengan kata lain, jika limit suatu fungsi ada, maka nilai tersebut haruslah unik.

Contoh-contoh berikut ini akan membantu kita untuk mengembangkan pemahaman kita mengenai definisi limit ε-δ.

Contoh 1: Menemukan δ Jika Diberikan ε

Diberikan bahwa nilai limit 2x – 5 ketika x mendekati 3 adalah 1. Tentukan δ sedemikian sehingga |(2x – 5) – 1| < 0,01 ketika 0 < |x – 3| < δ.

Pembahasan

Pada permasalah ini kita diberikan nilai ε, yaitu ε = 0,01. Untuk menentukan nilai δ, perhatikan bahwa |(2x – 5) – 1| = |2x – 6| = 2|x – 3|. Karena pertidaksamaan |(2x – 5) – 1| < 0,01 setara dengan 2|x – 3| < 0,01, maka kita dapat memilih δ = 1/2 ∙ 0,01 = 0,005. Mengapa kita harus memilih nilai δ yang demikian?

Perhatikan bahwa 0 < |x – 3| < 0,005 menyebabkan |(2x – 5) – 1| = 2|x – 3| < 2(0,005) = 0,01, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Pada contoh 1, yang kita lakukan adalah menentukan nilai δ jika diberikan ε. Yang kita lakukan itu tidak membuktikan keberadaan limit. Untuk membuktikannya, kita harus dapat menentukan nilai δ untuk sembarang ε, seperti yang ditunjukkan oleh contoh selanjutnya.

Contoh 2: Menggunakan Definisi Limit ε-δ

Gunakan definisi ε-δ untuk membuktikan bahwa limit 3x – 2 untuk x mendekati 2 adalah 4.

Pembahasan

Kita harus dapat menunjukkan bahwa untuk setiap ε > 0, ada δ > 0 sedemikian sehingga |(3x – 2) – 4| < ε ketika 0 < |x – 2| < δ. Karena δ nantinya bergantung pada ε, kita harus menentukan hubungan antara nilai mutlak |(3x – 2) – 4| dengan |x – 2|.

|(3x – 2) – 4| = |3x – 6| = 3|x – 2|

Sehingga, jika diberikan ε > 0 kita dapat memilih δ = ε/3. Pilihan kita ini tepat karena, 0 < |x – 2| < δ = ε/3 akan menyebabkan |(3x – 2) – 4| = 3|x – 2| < 3 ∙ ε/3 = ε, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Contoh 3: Menggunakan Definisi Limit ε-δ

Gunakan definisi ε-δ untuk membuktikan bahwa limit x2 untuk x mendekati 2 adalah 4.

Pembahasan

Kita harus menunjukkan bahwa untuk setiap ε > 0, ada δ > 0 sedemikian sehingga |x2 – 4| < ε ketika 0 < |x – 2| < δ.

Untuk menentukan δ yang memenuhi, pertama-tama kita tulis |x2 – 4| = |x – 2||x + 2|. Untuk setiap x dalam (1, 3), x + 2 < 5 sehingga |x + 2| < 5. Jadi, kita pilih δ sebagai nilai minimum antara ε/5 dan 1, sehingga ketika 0 < |x – 2| < δ, kita memperoleh |x2 – 4| = |x– 2||x + 2| < (ε/5) ∙ 5 = ε, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Dari contoh-contoh di atas kita menggunakan definisi limit ε-δ untuk membuktikan nilai limit tertentu dan untuk menentukan ada tidaknya nilai limit. Untuk menentukan nilai limit, akan digunakan suatu teknik yang lebih mudah daripada menggunakan definisi limit ε-δ. Semoga bermanfaat, yos3prens.

logika matematika

Hukum logika

1. Hukum komutatif
   • p ∧ q ≡ q ∧ p
   • p ∨ q ≡ q ∨ p
2. Hukum asosiatif
   • (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
   • (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
3. Hukum distributif
   • p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
   • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
4. Hukum identitas
   • p ∧ B ≡ p
   • p ∨ S ≡ p
5. Hukum ikatan
   • p ∧ S ≡ S
   • p ∨ B ≡ B
6. Hukum negasi
   • p ∧ ~p ≡ S
   • p ∨ ~p ≡ B
7. Hukum negasi ganda
   • ~(~p) ≡ p
8. Hukum idempotent
   • p ∧ p ≡ p
   • p ∨ p ≡ p
9. Hukum De Morgan
   • ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
   • ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
10. Hukum penyerapan
    • p ∧ (p ∨ q) ≡ p
    • p ∨ (p ∧ q) ≡ p
11. Negasi B dan S
    • ~B ≡ S
    • ~S ≡ B

MATEMATIKA TIDAK HANYA BERHITUNG

Jamak orang menganggap matematika adalah pelajaran berhitung. Mereka mengira bahwa seseorang dikatakan pintar matematika apabila ia mampu menghitung dengan cepat dan tepat tanpa menggunakan alat bantu apapun, termasuk kalkulator dan komputer. Memang ada benarnya. Namun pernyataan itu hanya benar sebagian kecil, tapi justru salah sebagian besarnya. Payahnya, justru pernyataan yang kurang benar tersebut sudah menjadi opini umum yang telah berkembang di ranah publik secara salah kaprah. Hal ini bisa terjadi akibat pelajaran ini diajarkan di sekolah-sekolah hanya sampai pada domain berhitung.

Apa sebenarnya esensi matematika? Matematika adalah cara berpikir, bukan cara berhitung. Seharusnya pelajaran matematika mengajari siswa untuk berpikir logis, bukan hanya membuat siswa menjadi pintar berhitung. Memang berhitung merupakan bagian dari matematika, namun demikian bagian tersebut (berhitung) adalah tetesan kecil dari samudra matematika yang luas.

Inti Matematika

Pembuktian adalah inti matematika. Matematika mempelajari objek-objek abstrak yang hanya ada di kepala kita. Matematika menggunakan metode deduktif dalam memandang suatu objek dengan cara yang menekankan generalisasi berdasarkan rasio atau analisis penalaran atau pemikiran sehingga tercipta struktur kognitif yang membentuk konsep-konsep yang bernilai global atau universal. Dalam matematika, konsep-konsep ini terbentuk karena proses berfikir, sehingga logika adalah dasar dari terbentuknya Matematika.

Tugas seorang matematikawan adalah mengamati objek tersebut sehingga diperoleh suatu hipotesis. Selanjutnya sang matematikawan harus melakukan suatu tindakan yang menuju kepada pembuktian hipotesis tersebut. Jika ia mampu, maka hipotesis tersebut dinamakan teorema, namun jika dia tidak mampu, maka hipotesis tersebut hanyalah sebatas konjektur (dugaan). Orang yang ahli dalam pembuktian lah yang layak disebut sebagai jago matematika yang sesungguhnya.

Lalu, di mana posisi aktivitas berhitung dalam rangkaian tahap matematika? Berhitung menjadi satu bagian dari keseluruhan bagian tahap matematika yang ada. Berhitung memang penting karena ia menjadikan matematika menjadi lengkap. Namun, sekali lagi, berhitung adalah bagian kecil yang bukan termasuk esensi.

Tahap dalam Matematika

Matematika akan menjadi sangat sempit apabila hanya difahami sebagai pelajaran berhitung. Logika-logika yang sering kita temui sehari-hari terlalu sederhana apabila dimengerti hanya sebagai angka-angka dan simbol-simbol. Menurut Conrad Wolfram, salah seorang pendiri Wolfram Inc., perusahaan pembuat software Mathematica, matematika terbagi menjadi kurang lebih empat tahap. Tahap pertama, dimulai dengan bagaimana menanyakan pertanyaan yang benar. Mengapa? Jika kita tidak dapat mengajukan pertanyaan yang benar tentunya kita hanya akan mendapatkan jawaban yang salah. Tahap kedua, mengambil pertanyaan (masalah) tersebut dan mengubahnya dari pertanyaan dunia nyata menjadi pertanyaan matematika. Tahap ketiga, melakukan perhitungan untuk mendapatkan sebuah jawaban dalam bentuk matematis. Tahap keempat, mengubahnya kembali ke dunia nyata dan memastikan (verifikasi) apakah hal tersebut sudah menjawab pertanyaan yang diajukan pada tahap pertama.

Jadi, berhitung hanyalah satu tahap dari empat tahap yang berlangsung dalam proses pemecahan masalah dalam matematika. Pernyataan bahwa matematika adalah berhitung atau berhitung adalah matematika, jelas-jelas pernyataan yang salah dan tidak berdasar pada kenyataan. Bila matematika hanya berhitung, maka manusia tidak akan pernah menang beradu perhitungan melawan komputer, sehebat apapun dia.

Lalu apa yang seharusnya dilakukan?

Sudah saatnya kurikulum matematika di sekolah-sekolah yang tidak lagi sesuai dengan akal sehat dan logika dilakukan perombakan. Materi tentang pembuktian sebaiknya diberikan proporsi yang besar dan materi tentang berhitung dikurangi proporsinya. Semakin banyak kita berlatih membuktikan sesuatu, maka siswa akan semakin mampu berfikir logis. Dengan belajar pembuktian, siswa belajar mengkontruksikan langka-langlah logis yang bertujuan menjelaskan suatu hal dan memecahkan suatu masalah.

Apakah kurikulum baru 2013 nanti bisa mengubah paradigma yang sudah terlanjur mengendap dan mengental dalam benak para orang tua siswa? Kita tunggu bersama.

selain kita pintar berhitung?. apa sih manfaat nya belajar matematika..????

Manfaat matematika?
Dua puluh tahun lalu, NRC (National Research Council, 1989:1) dari Amerika Serikat telah menyatakan pentingnya Matematika dengan pernyataan berikut: “Mathematics is the key to opportunity.” Matematika adalah kunci ke arah peluang-peluang. Bagi seorang siswa keberhasilan mempelajarinya akan membuka pintu karir yang cemerlang. Bagi para warganegara, matematika akan menunjang pengambilan keputusan yang tepat. Bagi suatu negara, matematika akan menyiapkan warganya untuk bersaing dan berkompetisi di bidang ekonomi dan teknologi.
Mata pelajaran Matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali mereka dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis dan kreatif serta kemampuan bekerja sama
Karena dengan belajar matematika, kita akan belajar bernalar secara kritis, kreatif dan aktif.

berdasarkan asal katanya maka matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir.
· James and James (1976). Matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak dan terbagi kedalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri.
· Johnson dan Rising (1972). Matematika adalah pola fikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logik, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat, representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi.
· Reys, dkk (1984). Matematika adalah telaah tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola fikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat.
· Ruseffendi E. T (1988:23). Matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil dimana dalil yang telah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.
· Kline (1973). Matematika itu bukan ilmu pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan ekonomi, sosial dan alam.
· Paling (1982) dalam Abdurrahman (1999:252). Mengemukakan ide manusia tentang matematika berbeda-beda, tergantung pada pengalaman dan pengetahuan masing-masing. Ada yang mengatakan bahwa matematika hanya perhitungan yang mencakup tambah, kurang, kali dan bagi; tetapi ada pula yang melibatkan topik-topik seperti aljabar, geometri dan trigonometri. Banyak pula yang beranggapan bahwa matematika mencakup segala sesuatu yang berkaitan dengan berpikir logis. Ilmu Matematika diantaranya meliputi aritmatika, geometri, aljabar dll. sehingga
kalau mau sok idealis tentu saja banyak manfaat Matematika untuk ilmu
pengetahuan lain dan juga untuk kehidupan, misalnya:

• Kombinasi (Statistika) bisa digunakan untuk mengetahui banyaknya formasi tim

bola voli yang bisa dibentuk.

• Aritmatika hampir digunakan setiap hari, yaitu untuk hitung-menghitung.
• Geometri bisa digunakan para ahli sipil karena geometri salah satunya adalah

membahas tentang bangun dan keruangan.

• Aljabar bisa digunakan untuk memecahkan masalah bagaimana memperoleh laba

sebanyak mungkin dengan biaya sesedikit mungkin.
Mungkin dengan logika Matematika juga bisa membantu untuk berpikir logis, tapi
tentu saja bukan hanya Matematika saja yang bisa membantu dalam berpikir logis.

beberapa manfaat yang kamu dapet jika belajar matematika

1. 1.   cara berpikir matematika itu sistematis, melalui urutan-urutan yang teratur dan tertentu. dengan belajar matematika, otak kita terbiasa untuk memecahkan masalah secara sistematis. Sehingga bila diterapkan dalam kehidupan nyata, kita bisa menyelesaikan setiap masalah dengan lebih mudah
2. 2.   cara berpikir matematika itu secara deduktif. Kesimpulan di tarik dari hal-hal yang bersifat umum. bukan dari hal-hal yang bersifat khusus. sehingga kita menjadi terhindar dengan cara berpikir menarik kesimpulan secara “kebetulan”. Misalnya kita tidak bisa menyatakan kalo “kita tidak boleh lewat jalan A pada hari sabtu, karena jalan tersebut meminta tumbal tiap hari sabtu” hanya karena ada beberapa orang yang kebetulan kecelakaan dan meninggal di jalan tersebut pada hari sabtu. Kita seharusnya berpikit bahwa orang yang meninggal di jalan tersebut pada hari sabtu bukan karena tumbal. tapi harus dianalisa lagi apakah karena orang tersebut tidak hati-hati, ataukah jalan yang sudaha agak rusak, atau sebab lain yang lebih rasional.
3. 3.   belajar matematika melatih kita menjadi manusia yang lebih teliti, cermat, dan tidak ceroboh dalam bertindak. Bukankah begitu? coba saja. masih ingatkah teman-teman saat mengerjakan soal-soal matematika? kita harus memperhatikan benar-benar berapa angkanya, berapa digit nol dibelakang koma, bagaimana grafiknya, bagaimana dengan titik potongnya dan lain sebaganya. jika kita tidak cermat dalam memasukkan angka, melihat grafik atau melakukan perhitungan, tentunya bisa menyebabkan akibat yang fatal. jawaban soal yang kita peroleh menjadi salah dan kadang berbeda jauh  dengan jawaban yang sebenarnya.
4. 4.   belajar matematika juga mengajarkan kita menjadi orang yang sabar dalam menghadapi semua hal dalam hidup ini. saat kita mengerjakan soal dalam matematika yang penyelesaiannya sangat panjang dan rumit, tentu kita harus bersabar dan tidak cepat putus asa. jika ada lamgkah yang salah, coba untuk diteliti lagi dari awal. jangan-jangan ada angka yang salah, jangan-jangan ada perhitungan yang salah. namun, jika kemudian kita bisa mengerjakan soal tersebut, ingatkah bagaimana rasanya? rasa puas dan bangga.( tentunya jika dikerjakan sendiri, buakn hasil contekan,. he.he.he). begitulah hidup. kesabaran akan berbuah hasil yang teramat manis.
5. 5.   yang tidak kalah pentingnya, sebenarnya banyak koq penerapan matematika dalam kehidupan nyata. tentunya dalam dunia ini, menghitung uang, laba dan rugi, masalah pemasaran barang, dalam teknik, bahkan hampir semua ilmu di dunia ini pasti menyentuh yang namanya matematika.

Logis

Logika seperti apa yang perlu kita asah? berpikir logis yang bagaimana yang di kehidupan kita?

Logika sendiri berasal dari kata Yunani kuno logos yang artinya hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika juga sering disebut dengan logike episteme atau ilmu logika yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur.

Dalam hidup, logika memiliki peran penting. Karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1.   Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara    rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren

2.   Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan     objektif

3.   Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri

4.   Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis

5.   Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan

6.   Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian

fungsi kuadrat dan grafiknya

FUNGSI KUADRAT dan GRAFIKNYA

Langkah2 menggambar grafik y = ax² + bx +c adalah sebagai berikut :

1. Titik potong sumbu x, y = 0

2. Titik potong sumbu y, x = 0

3. Persamaan sumbu simetri -b/2a

4. Menentukan nilai maksimum dan minimum b²- 4ac/-4a

5. Koordinat titik puncak (ekstrim) {(-b/2a),(b²- 4ac/-4a)}

=> Apabila dari langkah 1 - 5 belum terbentuk sketsa parabola maka ambillah titik bantu yaitu nilai x di sekitar persamaan sumbu simetri. 

Contoh Soal :

1. Gambarlah graik fungsi kuadrat y = x² - 4x - 5

    Jawaban : 

    a. Titik potong sumbu x, y = 0.

         y = x² - 4x - 5       =>       0 = (x - 5) (x + 1) , x = -1 , 5

         0 = x² - 4x - 5                   Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)

    b. Titik potong sumbu y, x = 0.

         y = x² - 4x - 5                                                                                         Gambar Grafik

         y = (0)² - 4(0) - 5

         y = -5

        maka titk potong sumbu y adalah (0,-5)

    c. Persamaan sumbu simetri -b/2a

        = -(-4)/2.1

        = 2

    d. Nilai maks/min b²- 4ac /-4a

        = {(-4)² - 4.1.(-5)} / -4(1)

        = 36/-4

        = -9

    e. Titik puncak {(-b/2a),(b²- 4ac/-4a)} 

        = (2,-9)

Membentuk Fungsi Kuadrat
 1. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui 3 buah titik.
    menggunakan  y = ax² + bx +c

    Contoh Soal  :     
    * Tentukan fungsi kuadrat grafiknya mel. 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)

       Jawaban :

       melalui (-1,0) => y = a(-1)² + b(-1) + c

                                      0 = a - b + c              ... (1)

       melalui (2,-9) => y = a(2)² + b(2) + c

                                     -9 = 4a + 2b + c        ... (2)

       melalui (4,-5) => y = a(4)² + b(4) + c

                                     -5 = 16a + 4b + c     ... (3)

       Dari (1) - (2) => -3a - 3b = 9               ... (4)

       Dari (2) - (3) => -12a - 2b = -4           ... (5)

       Dari (4) x 4   => -12a - 12b = 36        ... (4)'

       Dari (5) - (4)' => 10b = -40

                                          b = -4

       Substitusikan b = -4 ke (4)

                    maka => -3a + 12 = 9

                                              -3a = -3

                                                  a = 1

      Substitusikan a = 1 dan b = -4

                    maka => 1 - (-4) + c = 0

                                               5 + c = 0

                                                      c = -5

      Sehingga fungsi kuadratnya => y = x² - 4x - 5

2. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak diketahui.

    menggunakan y = a(x - p)² + q titik puncak (p,q)
    Contoh Soal :
    * Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9)
        serta melalui titik (-1,0)
    Jawaban : 
    y = a(x - p)² + q
       = a(x - 2)² - 9
   melalui (-1,0) => y = a(x - 2)² - 9
                                 0 = a(-1 - 2)² - 9
                                 9 = 9a
                                 a = 1
   Jadi, fungsi kuadratnya => y = 1(x - 2)² - 9
                                                       = (x² - 4x + 4) - 9
                                                       = x² - 4x - 5

3. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mmotong sumbu x di titik (p,0) dan (q,0)

    menggunakan y = a(x - p) (x - q)
    Contoh Soal :
    * Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0).
        serta melalui (4,-5)
    Jawaban :
    y = a(x - p) (x - q)
       = a{x -(-1)}(x - 5)
       = a(x + 1) (x - 5) 
   kerna melalui (4,-5) maka
   -5 = a(4 + 1) (4 - 5)
   -5 = -5a
    a = 1
   Jadi, fungsi kuadratnya : y = 1(x + 1) (x - 5)
                                                   = x² - 4x - 5

Inilah Bukti Keajaiban Matematika

Ternyata Matematika bukan saja merupakan hal yang membuat sebagian siswa pusing karena bentuk operasinya, namun setelah didalami lebih lanjut ternyata ada hal-hal yang unik dan menarik yang bisa diperoleh dalam beberapa operasi Matematika tersebut. Bukan saja sesuatu yang unik dan menarik namun ini juga bisa dianggap sebagai keajaiban dari operasi Matematika dan mungkin saja ini dapat membantu siswa yang tidak suka dengan Matematika akan tertantang untuk menyenangi Matematika.

Ada beberapa operasi Matematika yang menarik kita simak, karena memiliki pola yang simetris dan unik. Dari operasi tersebut menghasilkan bilangan yang mempunyai pola tertentu yang menarik. Misalnya menghasilkan angka yang sama ataupun menghasilkan angka yang berututan. Berikut ini adalah contoh dari operasi bilangan tersebut dan silakan dibuktikan kebenarannya.

Contoh 1

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

Contoh 2

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 + 10 = 1111111111

Contoh 3

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Contoh 4

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Selain hal tersebut tenyata ada beberapa kata yang jika huruf-hurufnya dikonversi dalam bentuk angka akan menghasilkan nilai yang yang maknanya ekuivalen dari kalimat tersebut. Maksudnya jika suatu nilai menunjukkan angka 100%, maka sesuatu akan merupakan suatu keberhasilan yang optimal. Maksudnya jika huruf dalam abjad diurutkan seperti berikut

A=1  B=2  C=3  D=4  E=5  F=6  G=7  H=8  I=9  J=10  K=11  L=12  M=13  N=14  O=15  P=16  Q=17  R=18  S=19  T=20  U=21  V=22  W=23  X=24  Y=25  Z =26

Maka beberapa kata akan mempeoleh nilai prosentase yang ajaib, berikut contohnya

Kata K-E-R-J-A-K-E-R-A-S akan mempunyai nilai  11 + 5 + 18 + 10 + 1 + 11 + 5 + 18 + 19 + 1 = 99 % dan yang unik nilainya sama dengan kata H-A-R-D-W-O-R-K mempunyai nilai 8 + 1 + 18 + 4 + 23 + 15 + 18 + 11 = 99 %. Ini dapat dimaknai bahwa dengan kerja keras maka 99% keberhasilan akan dapat diwujudkan.

Untuk kata A-T-T-I-T-U-D-E mempunyai nilai 1 + 20 + 20 + 9 + 20 + 21 + 4 + 5 = 100 % dan ini dapat dimaknai dengan adanya Attitude atau sikap yang jelas dalam mengambil suatu tindakan maka akan membuat keberhasilan kita dalam mencapai suatu keinginan akan menjadi 100%. Tanpa adanya sikap yang jelas dari kita tidak akan mungkin keberhasilan dapat dicapai.

Kemudian pada kata S-A-Y-A-N-G-A-L-L-A-H mempunyai nilai 19 + 1 + 25 + 1 + 14 + 7 + 1 + 12 + 12 + 1 + 8 = 101 % mempunyai nilai yang sama dengan L-O-V-E-O-F-G-O-D dengan nilai 12 + 15 + 22 + 5 + 15 + 6 + 7 + 15 + 4 = 101 %. HAl ini dapat kita maknai bahwa keberhasilan atau kesuksesan tidak akan memberi keberkahan jika dalam kehidupan kita tidak didasari oleh kehidupan beragama yang baik. Sehingga untuk menyempurnakan kesuksesan yang diraih berlu dibarengi dengan rasa ketakwaan kita terhadap Allah SWT, sehingga apa yang sudah diberoleh menjadi berkah buat kita dan keluarga.

Hal di atas merupakan sekelumit tentang keajaiban dari beberapa operasi Matematika dan semoga ini dapat menambah kecintaan kita dalam mempelajari matematika….