Selasa, 20 Januari 2015

turunan fungsi berantai

Turunan Fungsi Berantai

Jika y = f(u) dan u = f(x), maka :

Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan contoh dibawah ini :

Contoh :
1. Turunan pertama dari f(x) = (5x + 2)6 adalah ....

Penyelesaian :
• Cara I :
y = (5x + 2)6
misal : 
U = 5x + 2
du/dx = 5

y = U6
dy/du = 6 . U6 - 1 = 6U5


= 6U5 . 5
= 30U5
= 30 (5x + 2)5

• Cara II :
f'(x) = 6 . (5x + 2)6 - 1 . 5
f'(x) = 30 (5x + 2)5

Senin, 19 Januari 2015

limit

Definisi Formal Limit


Mari kita tinjau sisi lain dari definisi informal limit. Jika f(x) mendekati suatu nilai Lketika x mendekati c dari kiri ataupun kanan, maka limit f(x) dengan x mendekati c adalahL, atau dapat dituliskan
Definisi Limit
Sekilas, definisi tersebut terlihat masih menerawang. Definisi informal tersebut tidak menjelaskan arti sebenarnya dari 2 frasa: “f(x) mendekati suatu nilai L” dan “x mendekati c.”
Orang pertama yang mendefiniskan limit secara matematis adalah Augustin-Louis Cauchy. Definisi limit ε-δ-nya telah digunakan sebagai standard sampai sekarang. Perhatikan gambar di bawah ini!
Definisi Formal Limit
Pada gambar di atas, misalkan ε (epsilon) merepresentasikan bilangan positif yang kecil, maka frasa, “f(x) mendekati suatu nilai L” berarti bahwa f(x) terletak di antara interval (L– ε, L + ε). Dengan menggunakan nilai mutlak, kita dapat menuliskan pernyataan tersebut sebagai |f(x) – L| < ε.
Dengan cara yang sama, frasa “x mendekati c” berarti bahwa ada bilangan positif δ sedemikian sehingga x terletak dalam interval (c – δ, c) atau interval (cc + δ). Pernyataan ini secara singkat dapat ditulis menjadi 2 pertidaksamaan, 0 < |x – c| < δ. Pertidaksamaan yang pertama, 0 < |x – c| (dibaca: jarak antara x dan c lebih besar dari 0), menyatakan bahwa x ≠ c. Pertidaksamaan yang kedua, |x – c| < δ, menyatakan bahwa x berjarak kurang dari δ satuan dari c.
Definisi LimitMisalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat c (kemungkinan bisa hanya di kanan-kiri c) dan misalkan L adalah sebarang bilangan real. Pernyataan,
Definisi Formal Limit 2
berarti bahwa untuk setiap ε > 0 ada δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x – c| < δ, maka |f(x) – L| < ε.
Beberapa fungsi tidak memiliki limit ketika x mendekati c. Akan tetapi jika suatu fungsi memiliki nilai limit, maka fungsi tersebut tidak dapat memiliki 2 nilai limit yang berbeda. Dengan kata lain, jika limit suatu fungsi ada, maka nilai tersebut haruslah unik.
Contoh-contoh berikut ini akan membantu kita untuk mengembangkan pemahaman kita mengenai definisi limit ε-δ.
Contoh 1: Menemukan δ Jika Diberikan ε
Diberikan bahwa nilai limit 2x – 5 ketika x mendekati 3 adalah 1. Tentukan δ sedemikian sehingga |(2x – 5) – 1| < 0,01 ketika 0 < |x – 3| < δ.
Pembahasan
Pada permasalah ini kita diberikan nilai ε, yaitu ε = 0,01. Untuk menentukan nilai δ, perhatikan bahwa |(2x – 5) – 1| = |2x – 6| = 2|x – 3|. Karena pertidaksamaan |(2x – 5) – 1| < 0,01 setara dengan 2|x – 3| < 0,01, maka kita dapat memilih δ = 1/2 ∙ 0,01 = 0,005. Mengapa kita harus memilih nilai δ yang demikian?
Perhatikan bahwa 0 < |x – 3| < 0,005 menyebabkan |(2x – 5) – 1| = 2|x – 3| < 2(0,005) = 0,01, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.
Fungsi 2x-5
Pada contoh 1, yang kita lakukan adalah menentukan nilai δ jika diberikan ε. Yang kita lakukan itu tidak membuktikan keberadaan limit. Untuk membuktikannya, kita harus dapat menentukan nilai δ untuk sembarang ε, seperti yang ditunjukkan oleh contoh selanjutnya.
Contoh 2: Menggunakan Definisi Limit ε-δ
Gunakan definisi ε-δ untuk membuktikan bahwa limit 3x – 2 untuk x mendekati 2 adalah 4.
Pembahasan
Kita harus dapat menunjukkan bahwa untuk setiap ε > 0, ada δ > 0 sedemikian sehingga |(3x – 2) – 4| < ε ketika 0 < |x – 2| < δ. Karena δ nantinya bergantung pada ε, kita harus menentukan hubungan antara nilai mutlak |(3x – 2) – 4| dengan |x – 2|.
|(3x – 2) – 4| = |3x – 6| = 3|x – 2|
Sehingga, jika diberikan ε > 0 kita dapat memilih δ = ε/3. Pilihan kita ini tepat karena, 0 < |x – 2| < δ = ε/3 akan menyebabkan |(3x – 2) – 4| = 3|x – 2| < 3 ∙ ε/3 = ε, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.
Fungsi 3x - 2
Contoh 3: Menggunakan Definisi Limit ε-δ
Gunakan definisi ε-δ untuk membuktikan bahwa limit x2 untuk x mendekati 2 adalah 4.
Pembahasan
Kita harus menunjukkan bahwa untuk setiap ε > 0, ada δ > 0 sedemikian sehingga |x2 – 4| < ε ketika 0 < |x – 2| < δ.
Untuk menentukan δ yang memenuhi, pertama-tama kita tulis |x2 – 4| = |x – 2||x + 2|. Untuk setiap x dalam (1, 3), x + 2 < 5 sehingga |x + 2| < 5. Jadi, kita pilih δ sebagai nilai minimum antara ε/5 dan 1, sehingga ketika 0 < |x – 2| < δ, kita memperoleh |x2 – 4| = |x– 2||x + 2| < (ε/5) ∙ 5 = ε, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.
Fungsi x Kuadrat
Dari contoh-contoh di atas kita menggunakan definisi limit ε-δ untuk membuktikan nilai limit tertentu dan untuk menentukan ada tidaknya nilai limit. Untuk menentukan nilai limit, akan digunakan suatu teknik yang lebih mudah daripada menggunakan definisi limit ε-δ. Semoga bermanfaat, yos3prens.

logika matematika

Hukum logika

  1. Hukum komutatif
    • p ∧ q ≡ q ∧ p
    • p ∨ q ≡ q ∨ p
  2. Hukum asosiatif
    • (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
    • (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
  3. Hukum distributif
    • p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
    • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
  4. Hukum identitas
    • p ∧ B ≡ p
    • p ∨ S ≡ p
  5. Hukum ikatan
    • p ∧ S ≡ S
    • p ∨ B ≡ B
  6. Hukum negasi
    • p ∧ ~p ≡ S
    • p ∨ ~p ≡ B
  7. Hukum negasi ganda
    • ~(~p) ≡ p
  8. Hukum idempotent
    • p ∧ p ≡ p
    • p ∨ p ≡ p
  9. Hukum De Morgan
    • ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
    • ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
  10. Hukum penyerapan
    • p ∧ (p ∨ q) ≡ p
    • p ∨ (p ∧ q) ≡ p
  11. Negasi B dan S
    • ~B ≡ S
    • ~S ≡ B